Масъалаи № 41. Бигзор
\(x_n = \frac{n}{n+1}\quad (n = 1, 2, ...)\)
бошад.
Исбот карда шавад, ки
\(\lim\limits_{n\to\infty}x_n = 1\)
аст, тавассути барои ҳар як \(\varepsilon > 0\) адади \(N = N(\varepsilon)\)-ро муайян кардан, ки
\(|x_n - 1| < \varepsilon\), агар \(n > N\) бошад.
Ҷадвали зерин пур карда шавад:
| \(\varepsilon\) | 0,1 | 0,01 | 0,001 | 0,0001 |
| \(N\) |
Ҳал.
\(|x_n - 1| < \varepsilon\)
\(-\varepsilon < x_n - 1 < \varepsilon\)
\(-\varepsilon < \frac{n}{n+1} - 1 < \varepsilon\)
\(-\varepsilon < \frac{n - (n+1)}{n+1} < \varepsilon\)
\(-\varepsilon < \frac{-1}{n+1} < \varepsilon\)
\(-\varepsilon < \frac{1}{n+1} < \varepsilon\)
Яъне, адади \(N = N(\varepsilon)\)-ро чунин интихоб кардан зарур аст, ки барои \(n > N\) ду нобаробарии зерин иҷро шавад
\((1)\quad\frac{1}{n+1} > -\varepsilon\)
ва
\((2)\quad\frac{1}{n+1} < \varepsilon\).
Азбаски \(\varepsilon > 0\), пас барои дилхоҳ адади натуралии \(n = 1, 2, ...\)
\(\frac{1}{n+1} > 0 > -\varepsilon\).
Пас, агар барои ягон адади натуралии \(N\)
\(\frac{1}{N+1} < \varepsilon\)
\(\frac{1}{\varepsilon} < N+1\)
Аз ин ҷо ҳосил мешавад, ки агар \(N = [\frac{1}{\varepsilon}]\) бошад, онгоҳ барои адади натуралии дилхоҳи \(n > N\) нобаробариҳои (1) ва (2) иҷро мешаванд.
Бигзор \(N = [\frac{1}{\varepsilon}]\), онгоҳ
\(|x_n - 1| = |\frac{1}{n+1} - 1| < \varepsilon\),
ҳангоми \(n > N\).
Ба тарзи дигар, ҳудуди пайдарпаии додашуда ба 1 баробар аст.
1) Агар \(\varepsilon = 0,1\), онгоҳ
\(N = [\frac{1}{\varepsilon}] = [\frac{1}{0,1}] = 10 \)
Барои дилхоҳ адади \(n > 10\) мешавад, ки
\(|x_n - 1| < 0,1\).
2) Агар \(\varepsilon = 0,01\), онгоҳ
\(N = [\frac{1}{\varepsilon}] = [\frac{1}{0,01}] = 100 \)
Барои дилхоҳ адади \(n > 100\) мешавад, ки
\(|x_n - 1| < 0,01\).
3) Агар \(\varepsilon = 0,001\), онгоҳ
\(N = [\frac{1}{\varepsilon}] = [\frac{1}{0,001}] = 1000 \)
Барои дилхоҳ адади \(n > 1000\) мешавад, ки
\(|x_n - 1| < 0,001\).
4) Агар \(\varepsilon = 0,0001\), онгоҳ
\(N = [\frac{1}{\varepsilon}] = [\frac{1}{0,0001}] = 10000 \)
Барои дилхоҳ адади \(n > 10000\) мешавад, ки
\(|x_n - 1| < 0,0001\).
Ҷадвалро пур мекунем:
| \(\varepsilon\) | 0,1 | 0,01 | 0,001 | 0,0001 |
| \(N\) | 10 | 100 | 1000 | 10000 |
